9. 四色原理的证明

四色原理的证明

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摘要

本研究对四色原理证明的方法提出了新的思路，既设定了在原区域分出新区域及确定颜色的原则，又提出图形任变的设定，从而建立了任意复杂图形新增区域的递进关系，并通过归纳论证证明了四色原理成立。另又运用逻辑数学归纳法证实了不存在4个以上的区域均互有边界的规律，也证明了四色原理成立。

关键词

拓朴四色原理逻辑

1. 引言

四色原理它从1852年问世至今尚未获得逻辑证明。虽然上世纪70年代美国数学家通过计算机用穷举法确定了四色原理无反例，但数学界并未一致认为其是四色原理的完整证明。

近期看到邹山中《四色定理的数学证明》见参考文献【1】，其中提到“区域收缩或成膨胀为一个被封闭的基色区、而不影响区域相交的本来结构的设定”，该思路有利于扩展为适应更广泛的图形元素。

本研究的目的是探索四色原理的逻辑证明方法。

2. 证明的思路

四色原理提出已快200年了，至今都未能完整证明、这说明现有的方法是难于证明四色原理的，应寻求新的解决办法。

经全面的分析，本研究认为以往的证明方法中设定的图形元素不能自适应匹配各种可能出现的形状，造成穷举困难是造成四色原理证明失败的主要原因。为解决此问题、本研究提出的证明方法的新思路如下：

第1是增设可变图形，设定的图形元素必须能够自适应动态匹配各种可能出现的形状，该可变图形就象平面上的红水块和绿水块之间有水坝，当之间的水坝移动后2水块能够适应任何的区域形状改变仍保持有共同边界；

第2是设定分区定色原则，以此形成新区域的递进关系，而新的区域不需要改变非相邻区域原有颜色；

第3是设定n类构形图定义，由此可进一步归纳出和相邻区域所需颜色的总数量n。

3. 命题

四色原理的逻辑证明

4. 预备

设定：

将地图中区分每个国家的图形块统称为区域，各区域均为平面图形块并用区域号m代表；例如开始只有区域1并为白色、见图1；任意复杂地图都可以看作在原区域经多次执行分区、定色原则形成。一个国家的飞地区域可另用区域号表示。

4.1. 区域形状可变

为适应各种形状的图形元素的区域，设每个区域可在不改变原边界关系下变为任意形状的原色连续区域。这样的设定使证明时的图形元素形状已没有了形状的限制。

4.2. 分区定色原则

定色即为按相邻有共同边界的区域以不同色规则确定区域色；每次分出新区域时，每个区域可用四种色：白、红、绿、蓝中的一种，相邻区域应使用不同色作区分，无共同边界的区域可同色；要分出更多区域时循环使用分区、定色规则。这样的设定使证明时的新的区域不需要改变非相邻区域原有色，而只需对新区域及相邻区域定色即可。

4.3. n类构形图

当1个区域与其它区域无边界时，该区域为1类构形图；当2个区域只互有边界时，该2个区域均为2类构形图；当3个区域只均互有边界时，该3个区域均为3类构形图；当4个区域一起只均互有边界时，该4个区域均为4类构形图；如此类推n类构形图；这样的设定后得到的某地图中的最大数n，即为最小用色数。

上面的设定代表了各种可能的区域图形元素组合。

拓朴论证

执行各设定，开始只有一个区域1并为白色、见图1；

5.1. 先分出区域2

在图1基础上、找出2类构形图元素分出区域2并定为红色（与用绿色、蓝色等效）、见图2。

为了不受简单情况的干扰，以下忽略分出1-2类构形图的情况。

5.2. 再分出区域3

在图2基础上、找出3类构形图元素分出的区域3并定为绿色（与定为蓝色等效）、见图3。

5.3. 再又分出区域4

在图3基础上、找出4类构形图元素分出的区域4，此时只能使用蓝色了、见图4。

5.4. 后分出区域5

在图4基础上、再找不到5类构形图区域、只能找到4类或以下构形图区域（其实质是实现了穷举）；例如在a角（与b、c等效）或在1-2、1-3之间区域分出为3类构形图区域5、见图5.1。或例如在a（与b、c等效）角1、2、3之间区域分出为4类构形图的区域5、见图5.2。

5.5. 再后又分出区域6等

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5.6. 分析与论证

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参照数学归纳法以逻辑归纳法证明

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结论

根据上述论证，任一地图要分出更多区域时、只需要最多4种色就可区分全部区域，此即四色原理。从此四色原理可改称为四色定理。

命题证毕

参考文献

[1] 邹山中，四色定理的数学证明.

https://www.hanspub.org/journal/PaperInformation.aspx?paperID=30361

[2] 陈陶(陈涛) ，探索四色定理的数学证法.

http://idea.cas.cn/viewdoc.action?docid=64713.

开创新科学檄文

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