“费马原理”的4种证伪（40元标准版）

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“费马原理”的4种证伪

（40元标准版）

（本文为理工类本科必读，也适合高中爱好物理学者或理工类大专及以上学识者阅读）

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摘要

目的：指出 “费马原理”违反了光学定律，这是光学基础理论的一个进步。

方法与结论：以光的直线传播定律和反射定律为基础，证实了 “费马原理”有误。

关键词

物理光学；费马原理；光反射

引言

“费马原理（Fermat’s principle）”最早由法国科学家皮埃尔·德·费马（1601-1665年）在1662年提出，最初提出时名为“最短时间原理”。“费马原理”的主流描述：光线传播的路径光程最小。

后人对原始费马原理的条件进行了包括非平面反射镜的扩展，又将结论改为：光从空间一点传播到另一点是沿着光程一阶导数为零的路径传播的。但这样的改变把“费马原理”改得面目全非，已经不再是“费马原理”了！本研究只对原始“费马原理”进行讨论。

“费马原理”为现代科学界认同的光学基础原理之一，如果能够指出其中的存在问题则有重大的义意。是光学基础理论的一个进步。

命题1: 光的入射和反射光程最小

条件设定：

c为光速，θ、β分别为入射角和反射角；
真空中光从a点射向反射点0(即座标0点)、b为反射光线的到达点，已知光的反射定律θ=β；
y=0为反射面，以x/y座标的原点0为中心、R=1为半径作一虚线园，a、b均在虚线园弧上，见图。

证：

a在第2象限的园弧上，当a点和0点确定后，根据光的直线传播特性可知、入射光线的直线a0为唯一路径，其光程t₁=R/c=1/c；既然0为反射点，又根据光的直线传播特性和反射定律θ=β，可知b在第1象限的园弧上；

且反射光线的直线0b为唯一路径，其光程t₂=R/c=1/c；则入射光和反射光的唯一路径a0b的光程t=t₁+t₂=2R/c=2/c，也即入射光和反射光没有其它的路径，且总光程t=2/c。

分析：

根据光的直线传播特性，入射光线的唯一路径必定为直线a0，则入射光线唯一路径的光程t₁=1/c；而反射定律限定了θ=β，则反射光线的路径长度恒为R=1，反射光线唯一路径的光程为t₂=1/c，且总光程t=t₁+t₂=2/c；在唯一路径a0b的光程在没有与其它不同路径的光程作比较下、将a0b的光程称作为最小光程是不正确的。

结论：

由于“费马原理”被证伪、所以不能用于证明光的反射定律。

命题1证伪毕

命题2: 入射和反射路径的光程最小

设定：

将反射定律设为未知，只根据“费马原理”寻找入射和反射光程最小的路径；
光程和光传播所用的时间等效，c为真空中的光速；
以x/y座标的原点0为中心、R=1为半径作一虚线园，a、b均在虚线园弧上；真空中光从a点射向反射点0(即座标0点)、b为反射光线的到达点；
θ、β分别为入射角和反射角，θ=45°；y=0为反射面、见图1。

证：

a在第2象限的园弧上，当a点和0点确定后，根据光的直线传播特性可知，入射光线的直线a0为唯一路径，其光程t₁=R/c=1/c；下面根据“费马原理”寻找光程为最小的路径；

根据光的直线传播和反射特性可知，虽为未知θ=β、但由常识可知反射光应出现在第1象限的园弧上；即当0为反射点，反射角β只可能在（0°, 90°）区间，而不同反射角β时的反射光线的路径长度0b都必定等于R，即0b=R，所以反射光线的光程t₂=R/c=1/c是反射光线唯一光程；则入射光和反射光a0b的光程t=t₁+t₂=2R/c=2/c也是唯一光程，即入射光和反射光没有其它不同的光程。

再根据上面对入射和反射光程的计算结果可得：总光程t=2/c的路径有无限多、但光程都相同，没有光程最小的唯一路径；因此、根据“费马原理”是不能确定入射和反射光线光程为最小的唯一路径的。

分析：

根据光的直线传播特性，入射光线的唯一路径必定为直线a0，且入射光线唯一路径的光程t₁=1/c；如果没有反射定律的限制，反射角β只可能在（0°, 90°）区间，但不同反射角β的反射光线的路径长度恒为R=1，而反射角β在（0°, 90°）区间的反射光线的光程也恒为t₂=1/c，且总光程t=2/c与反射角β是否等于入射角θ无关。

结论：

根据“费马原理”是寻找不到光程为最小的路径的，也就不能得到θ=β；所以θ=β是反射定律的规则，不是“费马原理”新带来的规则；因此、“费马原理”的入射和反射路径的光程最小被证伪。由于“费马原理”被证伪、所以不能用于证明光的反射定律。

命题2证伪毕

命题3: 入射和折射光程最小

设定：

c为光速，已知折射定律v₁/v₂= sinθ/ sinβ；
a为真空中的单向光源点、0点为光的折射点、b为折射光线的到达点；
v₁、θ分别为入射光速度和入射角；
v₂、β分别为折射光速度和折射角；
x/y座标中的第1、2象限为介质1，介质1的绝对折射率为n₁，v₁=c/n₁；
x/y座标中的第3、4象限为介质2，介质2的绝对折射率为n₂，v₂=c/n₂。
以x/y座标的原点0为中心、R=1为半径作一虚线园，a、b均在虚线园弧上，见图2。

证：

a在第2象限的园弧上，根据光的直线传播特性和折射定律可知，b在第4象限的园弧弧上；当a点和0点确定后，根据光的直线传播特性可知，入射光线的唯一路径必定为直线a0，其光程t₁=R/v₁；

既然0为折射点，又根据光的直线传播特性和折射定律可知，v₁/v₂=sinθ/ sinβ，折射光线的唯一路径必定为直线0b=R、其光程t₂=R/v₂，总光程t=R/v₁+R/v₂；

分析：

根据光的直线传播特性，入射光线的唯一路径必定为直线a0，入射光线唯一路径的光程t₁=R/v₁；且折射定律限定了v₁/v₂=sinθ/sinβ，而折射光线的光程为t₂=R/v₂，总光程t=t₁+t₂。

结论：

在没有比较就将a0b的光程称最小光程是不正确的，因此“费马原理”被证伪、所以不能用于证明光的折射定律。

命题3证伪毕

命题4：入射和折射路径的光程最小

条件设定：

将折射定律设为未知，只根据“费马原理”寻找入射和折射光程最小的路径；
a为真空中的单向光源点、0为光的折射点、b为折射光线的到达点，c为真空中的光速；
v₁、θ分别为入射光速度和入射角；
v₂、β分别为折射光速度和折射角；
x/y座标中的第1、2象限为介质1，介质1的绝对折射率为n₁，v₁=c/n₁；
x/y座标中的第3、4象限为介质2，介质2的绝对折射率为n₂，v₂=c/n₂。
以x/y座标的原点0为中心、R=1为半径作一虚线园，a、b均在虚线园弧上，见图2。

证：

以x/y座标的原点0为中心、R=1为半径作一虚线园，见图2；

当a点和0点确定后，根据光的直线传播特性可知，入射光线的唯一路径必定为直线a0，且入射光线

路径的光程t₁=R/c、则t₁必然是该入射光线唯一路径的光程；

下面试根据“费马原理”寻找光线的入射和折射光程为最小的路径；既然0为折射点，又根据光的直线传播特性和未知折射角β时，按常识折射角β只可能在（- 90°, 0°）区间，而不同折射角β时的折射光线的路径长度必定等于直线0b=R，且折射光线的光程t₂=R/v₂、则总光程t=R/v₁+R/v₂；经上面对入射和折射光程的计算结果可得：相同光程t=R/v₁+R/v₂的路径有无限多，不能找到最小光程的路径。

分析：

根据光的直线传播特性，入射光线的唯一路径必定为直线a0，且入射光线唯一路径的光程t₁=R/c；如果没有折射定律的限制，则β只可能在（- 90°，0°）区间，而折射角β在区间范围内的折射光线的光程也恒为t₂=R/v₂，且总光程t=t₁+t₂与β无关且恒定不变。

结论：

根据“费马原理”是寻找不到光程为最小的路径的，也就不能得到v₁/v₂=sinθ/sinβ；所以v₁/v₂=sinθ/ sinβ是折射定律的规则，不是“费马原理”新带来的规则。由此“费马原理”被证伪、所以不能用于证明光的折射定律。

命题4证伪毕

感言

报告人在进行光子科学探索中发现了光的反射和折射机制，当时很自然就提出了为何光子会走“费马原理”的最小光程路径的疑问；经进一步研究后得“费马原理”是冗余的，并发现了目前常用“费马原理”对光反射定律的结论是错误的，特此报告。

鸣谢

本《“费马原理”的4种证伪》的研究获得“中国缔造、世界繁荣”基金的特别资助，特此鸣谢。

参考文献

[1]中国北京大学出版社《光学》赵凯华钟锡华，出版时间为2017年10月。

Zhao Kaihua, Zhong Xihua, Optics, Beijing University Press, Chinese 2017.10